تمامی ریشه‌های یک عدد را می‌توان به صورت یک کسر مسلسلی نوشت:

\[\sqrt{N} = a_0 + \dfrac{1}{a_1 + \dfrac{1}{a_2 + \dfrac{1}{a_3 + ...}}}\]

برای مثال $\sqrt{23}$ را در نظر بگیرید:

\(\sqrt{23} = 4 + \sqrt{23} - 4 = 4 + \dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{23} -4}} = 4 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{\sqrt{23} - 3}{7}}\) اگر این روند ادامه دهیم به بسط زیر خواهیم رسید: \(\sqrt{N} = 4 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{8 + ...}}}}\)

این روند را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد:

\[a_0 = 4,\dfrac{1}{\sqrt{23} - 4} = \dfrac{\sqrt{23} + 4}{7} = 1 + \dfrac{\sqrt{23} - 3}{7} \\ a_1 = 1,\dfrac{7}{\sqrt{23} - 3} = \dfrac{7(\sqrt{23} + 3)}{14} = 3 + \dfrac{\sqrt{23} - 3}{2} \\ a_2 = 3,\dfrac{2}{\sqrt{23} - 3} = \dfrac{2(\sqrt{23} + 3)}{14} = 1 + \dfrac{\sqrt{23} - 4}{7} \\ a_3 = 1,\dfrac{7}{\sqrt{23} - 4} = \dfrac{7(\sqrt{23} + 4)}{7} = 8 + \sqrt{23} - 4 \\ a_4 = 8,\dfrac{1}{\sqrt{23} - 4} = \dfrac{\sqrt{23} + 4}{7} = 1 + \dfrac{\sqrt{23} - 3}{7} \\ a_5 = 1,\dfrac{7}{\sqrt{23} - 3} = \dfrac{7(\sqrt{23} + 3)}{14} = 3 + \dfrac{\sqrt{23} - 3}{2} \\ a_6 = 3,\dfrac{2}{\sqrt{23} - 3} = \dfrac{2(\sqrt{23} + 3)}{14} = 1 + \dfrac{\sqrt{23} - 4}{7} \\ a_7 = 1,\dfrac{7}{\sqrt{23} - 4} = \dfrac{7(\sqrt{23} + 4)}{7} = 8 + \sqrt{23} - 4 \\\]

مشاهده می‌شود که دنباله تکرار می‌شود، برای اختصار آن را به صورت $ \sqrt{23} = [4; (1, 3, 1, 8)] $ ‌می‌نویسیم که بیان می‌کند بلاک $(1, 3, 1, 8)$ به صورت نامحدود تکرار می‌شود.

\[\sqrt{2} = [1; (2)]; \text{Period} = 1 \\ \sqrt{3} = [1; (1, 2)]; \text{Period} = 2 \\ \sqrt{5} = [2; (4)]; \text{Period} = 1 \\ \sqrt{6} = [2; (2, 4)]; \text{Period} = 2 \\ \sqrt{7} = [2; (1, 1, 1, 4)]; \text{Period} = 4 \\ \sqrt{8} = [2; (1, 4)]; \text{Period} = 2 \\ \sqrt{10} = [3; (6)]; \text{Period} = 1 \\ \sqrt{11} = [3; (3, 6)]; \text{Period} = 2 \\ \sqrt{12} = [3; (2, 6)]; \text{Period} = 2 \\ \sqrt{13} = [3; (1, 1, 1, 1, 6)]; \text{Period} = 5 \\\]

دقیقا چهار کسر سلسله مراتبی به ازای $ N \le 13 $ وجود دارند که دوره تناوب فرد دارند.

چه تعداد کسر سلسله مراتبی برای $N \le 10000 $ تعداد دوره تناوب فرد دارند؟